sinAcos^2C/2+sinCcos^2A/2=3/2sinB

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/04 17:19:46
在三角形ABC中,sinAcos^2(C/2)+sinCcos^2(A/2)=3/2sinB
(1).求证,a,b,c成等差数列.
(2).求角B的取值范围.

cos^2(C/2)=(1+cosC)/2
cos^2(A/2)=(1+cosA)/2
所以左边=sinA/2+sinC/2+(sinAcosC+sinCcosA)/2
=sinA/2+sinC/2+sin(A+C)/2
A+C=180-B
所以sin(A+C)=sinB
所以sinA/2+sinC/2+sinB/2=3/2sinB
所以sinA/2+sinC/2=sinB
sinA+sinC=2sinB
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a+c=2b
所以a,b,c成等差数列.

a+c=2b
两边平方
a^2+c^2+2ac=4b^2
b^2=(a^2+c^2+2ac)/4
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(3a^2+3b^2-2ac)/8ac
=3(a^2+c^2)/8ac-1/4
a^2+c^2>=2ac
所以cosB>=3*2ac/8ac-1/4=1/2
所以0<B<=60